Projekt z Technologi Informacyjnej

Rozważamy funkcję sinus obciętą do przedziału \[ [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] \] Funkcja sinus jest w tym przedziale rosnąca , a zatem jest różnowartościowa. Co więcej, przyjmuje każdą wartość z przedziału \[ [-1,1] \] stąd funkcja sinus na tym przedziale ma funkcję odwrotną, którą oznaczamy arcsin (czytamy: arkus sinus). A zatem: \[ y=arcsin \ x \Leftrightarrow x=sin \ y\] gdzie \[ x \in [-1,1] \] oraz \[ x \in [-1,1] \] Na tej podstawie mamy na przykład: \[ arcsin \ (-1)=-\frac{\pi}{2} \] gdyż \[ sin \ (-\frac{\pi}{2})=-1 \] oraz \[ -\frac{\pi}{2} \in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] \] \[ arcsin \ (-\frac{\sqrt{2}}{2})=-\frac{\pi}{4} \] gdyż \[ sin \ (-\frac{\pi}{4})=- \frac{\sqrt{2}}{2} \] oraz \[ -\frac{\pi}{4} \in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] \] \[ arcsin \ 0=0 \] gdyż \[ sin \ 0=0 \] oraz \[ 0 \in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] \] \[ arcsin \ \frac{1}{2}=\frac{\pi}{6} \] gdyż \[ sin \ \frac{\pi}{6}=\frac{1}{2} \] oraz \[ \frac{\pi}{6} \in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \] \[ arcsin \ 1=\frac{\pi}{2} \] gdyż \[ sin \ \frac{\pi}{2}=1 \] oraz \[ \frac{\pi}{2} \in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] \].

Wykres funkcji \[ y=arcsin \ x \]
Wykresy funkcji \[ y=arcsin \ x \] i \[ y=sin \ x \]
Analogicznie określamy funkcje odwrotne pozostałych funkcji trygonometrycznych.
Rozważmy funkcję cosinus obciętą do przedziału \[ [0,\pi] \] Funkcja cosinus na tym przedziale jest malejąca, a zatem jest różnowartośćiowa. Co więcej, przyjmuje każdą wartość z przedziału \[ [-1,1] \] Stąd ma na tym przedziale funkcję odwrotną, którą oznaczamy \[ arccos \ x \] (czytamy: arkus kosinus). A zatem: \[ y=arccos \ x \Leftrightarrow x=cos \ y \] gdzie \[ x \in [-1,1] \] oraz \[ y \in [0,\pi] \] Mamy na przykład: \[arccos \ (-1)=\pi \] gdyż \[ cos \ \pi=-1 \] oraz \[ \pi \in [0,\pi] \] \[ arccos \ (-1/2)=\frac{2\pi}{3} \] gdyż \[cos \ \frac{2\pi}{3}=-1/2 \] oraz \[ \frac{2\pi}{3} \in [0,\pi] \] \[ arccos \ 0=\frac{\pi}{2} \] gdyż \[ cos \ \frac{\pi}{2}=0 \] oraz \[ \frac{\pi}{2} \in [0,\pi] \] \[ arccos \ \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\pi}{4} \] gdyż \[ cos \ \frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2} \] oraz \[ \frac{\pi}{4} \in [0,\pi] \] \[ arccos \ 1=0 \] gdyż \[ cos \ 0=1 \] oraz \[ 0 \in [0,\pi] \] Ponieważ na przedziale \[ [0,\pi] \] funkcja \[ arccos \ x \] jest odwrotna do funkcji \[ cos \ x \] więc jej wykres jest symetryczny względem prostej \[ y=x \] do wykresu funkcji cosinus.

Wykres funkcji \[ y=arccos \ x \]
Wykresy funkcji \[ y=cos \ x \] i \[ y=arccos\ x \]
Rozważmy funkcję tangens obciętą do przedziału \[ (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}) \] Funkcja tangens na przedziale \[ (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}) \] jest rosnąca, a więc jest różnowartościowa. Co więcej, przyjmuje każdą wartość rzeczywistą. Funkcję odwrotną do funkcji tangens oznaczamy \[ arctg \ x \] (czytamy: arkus tangens). Mamy więc: \[ y=arctg \ x \Leftrightarrow x=tg \ y \] gdzie \[ x \in R \] \[ y \in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] \] Dostajemy przykład: \[ arctg(-1)=-\frac{\pi}{4} \] gdyż \[ tg \ (-\frac{\pi}{4})=-1 \] oraz \[ -\frac{\pi}{4} \in (- \frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}) \] \[ arctg \ 0=0 \] gdyż \[ tg \ 0=0 \] oraz \[ 0 \ \in (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}) \] \[ arctg \ 1=\frac{\pi}{4} \] gdyż \[ tg \ \frac{\pi}{4}=1 \] oraz \[ \frac{\pi}{4} \in (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}) \]