Geometria i ciągi

W układzie współrzędnych zaznaczymy zbiór \[ A \] gdzie:

  • \[ A=\lbrace(x,y) : \mid x \mid+ y < 1\rbrace \]
  • \[ A=\lbrace(x,y) : \mid y \mid(y^2-x^2)>0\rbrace \]
  • \[ A=\lbrace(x,y) : -7< x^2-4x+y^2-4y<-4\rbrace \]
  • \[ A=\lbrace(x,y) : x>y^2, y>x^2\rbrace \]
  • \[ A=\lbrace(x,y) : \mid xy \mid \leq -1\rbrace \]
Rozwiązanie:
  • Zauważyliśmy, że wystarczy narysować wykres funkcji \[ y=1-\mid x \mid \] i następnie zaznaczyć zbiór złożony z punktów leżących „poniżej” wykresu.
    • \[ \mid x \mid+ y < 1 \]
  • Zauważyliśmy, że dla \[ y=0 \] nierówność jest sprzeczna. Możemy zatem załozyć, że \[ y \neq 0 \] Wówczas \[ \mid y \mid>0 \] więc nierówność \[ \mid y \mid(y^2-x^2)>0 \] jest równoważna nierówności \[ y^2-x^2>0 \] czyli \[ (y-x)(y+x)>0 \] Stąd \[ y-x>0 \] i \[ y+x>0 \] lub \[ y-x<0 \] i \[ y+x<0 \] tzn. zaznaczamy obszar złożony z punktów leżących „powyżej” prostych \[ y=x \] oraz \[ y=-x \] i z punktów leżących „poniżej” prostych \[ y=x \] oraz \[ y=-x \]
    • \[ \mid y \mid(y^2-x^2)>0 \]

  • Ponieważ:
    \[ -7< x^2-4x+y^2-4y<-4 \Leftrightarrow 1^2<(x-2)^2+(y-2)^2<2^2 \] więc zbiór \[ A \] składa się z punktów leżących wewnątrz okręgu o środku w punkcie \[ (2,2) \] i promieniu 2 i jednocześnie na zewnątrz okręgu o środku w punkcie \[ (2,2) \] i promieniu 1
    • \[ -7< x^2-4x+y^2-4y<-4 \]
  • Parabole o równaniach \[ y=x^2 \] i \[ x=y^2 \] przecinające się w punktach \[ (0,0) \] i \[ (1,1) \] ograniczają szukany zbiór. \[ x>y^2, y>x^2 \]